而整数总能写成的形式，其中是整数（零可以写成）。

因此有理数就是能够化为两个整数之比的数，有理数的希腊文为，原意为“成比例的数”，英文以ratio（比例）为词根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语应该是“可比数”。

那么，为什么如今我们学习的名称不是“可比数”，而是“有理数”呢？这是由于数学知识在飘洋过海的过程中出现了“误读”，这是东西方数学文化传播中的一个著名乌龙事件。

有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（）译为“理”，这里的“理”指的是它的本意“比值”。

徐光启与利玛窦

而日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。因此日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了“道理”，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。

在明治维新之后，日本的数学得到了迅猛的发展。到了清末，近代处于落后地位的中国不得不开始派遣留学生到日本进行学习，中国留学生又将错误传回中国，大有“出口转内销”的意味，于是“有理数”以讹传讹，沿用至今。

2 无理数

有理数听起来就像是“有道理的数”，这个观点若是放在古希腊时代可能会非常流行，特别是对于奉行“万物皆数”，将（有理）数看作是宇宙万物本源的毕达哥拉斯学派更是如此，他们认为所有事物的性质都是由数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。

毕达哥拉斯（约公元前580年~约公元前500年）

然而毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现正方形对角线与边长为不可公度量（即两者的长度之比不能表达为整数之比），无理数的发现对毕达哥拉斯的哲学造成了毁灭性的打击，发现了真理的希帕索斯被毕达哥拉斯学派的门徒们抛进大海处死。于是很多中学教师这样告诉学生：希帕索斯因为发现无理数而失去生命，此事太没有“道理”，所以他所发现的数被称为“无理数”。

然而，这个传说未必可信，毕达哥拉斯学派有许多严格且奇怪的规矩，比如“禁食豆子”，“东西落下了，不要用手拣起来”等等，最重要的是，在毕达哥拉斯建立的团体中，财产是公有的，而且学派的成员们有一种共同的生活方式，甚至于科学和数学的发现也被认为是集体的，所以更可能的情形是——希帕索斯因违反了毕达哥拉斯学派的规矩而被驱逐出学派。

因此认为无理数是“没有道理的数”实际上是对其的误解。同有理数一样，无理数的命名也是源于翻译问题。实际上，无理数的英文为irrational number，irrational的原意是“不可比的”或“不能表达成比率的”。所谓的“无理数”，不过是“无比数”的误译而已。

无理数无法写成两个整数之比，最著名的例子莫过于对是无理数的证明，其方法是反证法，我们可以假设是一个有理数，即它可以写成两个互素的整数之比